Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

ta có: y'=\(\frac{-1}{\left(2x-1\right)^2}\)<0  với mọi x thuộc R

TA có k = y'(5)= \(\frac{-1}{81}\)

gnbhmn

Đường thẳng đi qua A có hệ số góc k có phương trình : \(y=k\left(x-5\right)+\frac{1}{3}\left(\Delta\right)\)

\(\Delta\) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình \(\begin{cases}\frac{x}{2x-1}=k\left(x-5\right)+\frac{1}{3}\\-\frac{1}{\left(2x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm

\(\begin{cases}\frac{x}{2x-1}=k\left(x-5\right)+\frac{1}{3}\\-\frac{1}{\left(2x-1\right)^2}=k\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x}{2x-1}=\frac{1}{\left(2x-1\right)^2}\left(x-5\right)+\frac{1}{3}\left(1\right)\\-\frac{1}{\left(2x-1\right)^2}=k\left(2\right)\end{cases}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x^2-x=5-x+\frac{1}{3}\left(4x^2-4x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+4x-16=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-4\\x=2\end{cases}\)

 Ta có : \(\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\)

Tương tự ta cũng có 

           \(\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}\right);\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}\right)\)

Cộng các vế ta được \(S\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Vậy \(S_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Đặt \(x+y=t,t\in\left[-2;2\right]\)

Biến đổi được \(P=-2t^3+6t\)

Xét \(f\left(t\right)=-2t^3+6t\) trên \(\left[-2;2\right]\)

Lập bảng biến thiên

Ta có \(P_{Max}=4\) khi t=1

          \(P_{Min}=-4\) khi t= -1

Hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[\frac{1}{2};2\right]\)

+)\(f'\left(x\right)=\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2};f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\notin\left[\frac{1}{2};2\right]\)hoặc \(x=-2\notin\left[\frac{1}{2};2\right]\)

+) \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{6};f\left(2\right)=\frac{7}{3}\)

Vậy \(minf\left(x\right)_{x\in\left[\frac{1}{2};2\right]}=\frac{7}{6}\) khi \(x=\frac{1}{2}\)

       \(maxf\left(x\right)_{x\in\left[\frac{1}{2};2\right]}=\frac{7}{3}\) khi \(x=2\)

13/4 bn nha

13/4 tick minh nha ban

Bằng 13/4 tick đúng cho mk đi mk chỉ chi tiết cho

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có :

   \(P\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\)  (1)

Lại theo bất đẳng thức Cô si thì :

\(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{27}{\left(xyz\right)^2}}}\)    (2)

Vì \(xyz=1\) nên ta có :

\(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\ge3\sqrt{3}\)

Khi \(x=y=z=1\Rightarrow P=3\sqrt{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P=3\sqrt{3}\)

Ta có :

\(P=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\) (1)

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có :

\(\left[\left(x+1\right)+\left(y+1\right)+\left(z+1\right)\right]\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge9\)

Vì \(x+y+z=1\) nên có 

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{4}\)

Thế vào (1) ta có :

\(P\le\frac{3}{4}\) với mọi \(\left(x,y,z\right)\in D\)

Mặt khác lấy \(x=y=z=\frac{1}{3}\), khi đó \(\left(x,y,z\right)\in D\) ta có \(P=\frac{3}{4}\) vậy max \(P=\frac{3}{4}\)

Ta có : \(-x+\sqrt{x}=-\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)

       \(\Rightarrow f\left(x\right)=3^{-x+\sqrt{x}}\le3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}\Rightarrow\) Max \(f\left(x\right)=\sqrt[4]{3}\) khi \(x=\frac{1}{4}\)

Không có giá trị Min

     \(0\le\sin^2x\le1\Rightarrow0,5^0\ge0,5^{\sin^2x}\ge0,5^1\)

 \(\Leftrightarrow1\ge f\left(x\right)\ge\frac{1}{2}\)

 \(\Leftrightarrow\) Max f(x) = 1 khi \(x=k\pi\)

      Min f(x) =\(\frac{1}{2}\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)   \(k\in Z\)

Đặt \(t=\sin^2x\) với \(t\in\left[0;1\right]\Rightarrow f\left(x\right)=0,5^t=g\left(t\right)\) với \(t\in\left[0;1\right]\)

Ta có : \(g'\left(t\right)=0,5^1\ln0,5=-0,5^t\ln2< 0\) với mọi \(t\in\left[0;1\right]\) hàm số nghịch biến với mọi \(t\in\left[0;1\right]\)

\(\Rightarrow0\le t\le1\Rightarrow g\left(0\right)\ge g\left(t\right)\ge g\left(1\right)\Leftrightarrow1\ge g\left(t\right)\ge\frac{1}{2}\)

Vậy Max f(x) = 1 khi \(x=k\pi\)

Min \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)  (k thuộc Z)

Ta có : \(f\left(x\right)=2^{x-1}+2^{3-x}\ge2\sqrt{2^{x-1}.2^{3-x}}=4\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(2^{x-1}=2^{3-x}\Leftrightarrow x-1=3-x\)

                                                                \(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy Min \(f\left(x\right)=4\) khi x = 2

Ta có \(f'\left(x\right)=2^{x-1}\ln2-2^{3-x}\ln2=\left(2^{x-1}-2^{3-x}\right)\ln2=0\)

         \(\Leftrightarrow2^{x-1}=^{3-x}\)

         \(\Leftrightarrow x-1=3-x\)

         \(\Leftrightarrow x=2\)

Mà \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(2^{x-1}+2^{3-x}\right)=+\infty\)

        \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(2^{x-1}+2^{3-x}\right)=+\infty\)

Ta có bảng biến thiên :

Vậy Min f(x) = 4 khi x = 2