Question

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

           \(f\left(x\right)=\left(0,5\right)^{\sin^2x}\)

Answer 1

     \(0\le\sin^2x\le1\Rightarrow0,5^0\ge0,5^{\sin^2x}\ge0,5^1\)

 \(\Leftrightarrow1\ge f\left(x\right)\ge\frac{1}{2}\)

 \(\Leftrightarrow\) Max f(x) = 1 khi \(x=k\pi\)

      Min f(x) =\(\frac{1}{2}\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)   \(k\in Z\)

Answer 2

Đặt \(t=\sin^2x\) với \(t\in\left[0;1\right]\Rightarrow f\left(x\right)=0,5^t=g\left(t\right)\) với \(t\in\left[0;1\right]\)

Ta có : \(g'\left(t\right)=0,5^1\ln0,5=-0,5^t\ln2< 0\) với mọi \(t\in\left[0;1\right]\) hàm số nghịch biến với mọi \(t\in\left[0;1\right]\)

\(\Rightarrow0\le t\le1\Rightarrow g\left(0\right)\ge g\left(t\right)\ge g\left(1\right)\Leftrightarrow1\ge g\left(t\right)\ge\frac{1}{2}\)

Vậy Max f(x) = 1 khi \(x=k\pi\)

Min \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)  (k thuộc Z)