§2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Ta có:  \(m^4-m^2+1\)\(>0\)

PT \(\Leftrightarrow\)\(\text{[}\begin{matrix}x^2=m^4-m^2+2\left(1\right)\\x^2=m^2-m^4=m^2\left(1-m^2\right)\left(2\right)\end{matrix}\)

(1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m vì \(m^4-m^2+2\)\(>0\)

(2) có 2 nghiệm phân biệt     \(\Leftrightarrow\)    \(m\ne0\) và  \(1-m^2\)\(>0\)   \(\Leftrightarrow m\in\)\(\left(-1;1\right)\)\\(\text{ }\left\{0\right\}\)

PT có 4 nghiệm phân biệt   \(\Leftrightarrow\)  \(m\in\left\{-1;1\right\}\)\\(\left\{0\right\}\) và \(m^4-m^2+2\ne m^2-m^4\)

\(\Leftrightarrow\)       \(m\in\left\{-1;1\right\}\)\\(\left\{0\right\}\)  và  \(m^4-m^2+1\ne0\)  \(\Leftrightarrow\) \(m\in\left(-1;1\right)\)\\(\left\{0\right\}\),   kết luận

ĐK \(\begin{cases}4x+1\ge0\\5-2x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow }\frac{-1}{4}\le x\le\frac{5}{2}}\)
pt\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{4x+1}-3-\sqrt{5-2x}+1+2x^2-5x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4x-8}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2x-4}{\sqrt{5-2x}+1}+\left(x-2\right)\left(2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}+2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\\\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}+2x-1=0\left(Vn_o\right)\end{array}\right.\)
KL: x=2

 giống nhau wa. hjhj

me too

ừm me too

\(\Leftrightarrow\frac{2^{3x^2-3x+1}}{3^{x^2-x+1}}.\frac{3^{2x^2-3x+2}}{5^{2x^2-3x+2}}.\frac{5^{3x^2-4x+3}}{7^{3x^2-4x+3}}.\frac{7^{4x^2-5x+4}}{2^{4x^2-5x+4}}=210^{\left(x-1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(3.5.7\right)^{x^2-x+1}}{2^{x^2-2x+1}}=2^{\left(x-1\right)^2}.\left(3.5.7\right)^{\left(x-1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow105^x=2^{2\left(x-1\right)^2}\)

Lấy Logarit cơ số 2 hai vế, ta được :

\(2\left(x-1\right)^2=\left(\log_2105\right)x\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(4+\log_2105\right)x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\left(2+\log_2105\right)\pm\sqrt{\log^2_2105+8\log_2105}}{4}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

\(\Leftrightarrow2^{x^2-x}.2^{2x}-4.2^{^{x^2-x}}-2^{2x}+4=0\)

\(\Leftrightarrow2^{x^2-x}\left(2^{2x}-4\right)-\left(2^{2x}-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2^{2x}-4\right)\left(2^{x^2-x}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2^{2x}=4\\2^{x^2-x}=1\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=0\end{array}\right.\)

Điều kiện : \(x\ne-2\)

\(\Leftrightarrow2^{\frac{3x}{x+2}}=2^2.3^{4-x}\Leftrightarrow2^{\frac{x-4}{x+2}}=3^{4-x}\Leftrightarrow\frac{x-4}{x+2}\log_32=4-x\)

                                                    \(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+2+\log_32\right)=0\)

                                                    \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=4\\x=-2-\log_32\end{array}\right.\)

ko bít làm

Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho \(x^2\ne0\) ta được :

\(\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=5x^2\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}+3\right)\left(x+\frac{1}{x}-1\right)=5\)

Đặt \(t=x+\frac{1}{x}\) ta được :

\(\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=5x^2\Leftrightarrow\left(t+3\right)\left(t-1\right)=5\)

                                                   \(\Leftrightarrow t^2+2t-8=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=2\\t=-4\end{array}\right.\)

Do vậy \(\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=5x^2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x+\frac{1}{x}=2\\x+\frac{1}{x}=-4\end{array}\right.\)

                                                               \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x^2-2x+1=0\\x^2+4x+1=0\end{array}\right.\)

                                                              \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=-2\pm\sqrt{3}\end{array}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

Đặt t=x²+1 (t>0)

PT trên trở thành: (t+3x)(t-x)=5x²

<=>t²+2tx-8x²=0

<=>t²-2tx+4tx-8x²=0

<=>t.(t-2x)+4x.(t-2x)=0

<=>(t+4x)(t-2x)=0

<=>t=-4x hoặc t=2x

*t=-4x =>x²+1=-4x <=>x²-4x+1=0(1)

\(\Delta=12>0\Rightarrow\sqrt{\Delta}=2\sqrt{3}\)

=>PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: \(x_1=2+\sqrt{3};x_2=2-\sqrt{3}\)

*t=2x =>x²+1=2x <=>x²-2x+1=0 <=> (x-1)²=0 <=>x=1

Vậy PT có tập nghiệm là: \(S=\left\{2+\sqrt{3};2-\sqrt{3};1\right\}\)

Từ phương trình ban đầu ta có  \(\Leftrightarrow x^2\left(x+1\right)^2=\left(\left(x+1\right)+x\right)^2+4\)

                                               \(\Leftrightarrow\left(\left(x+1\right)-x\right)^2+4x\left(x+1\right)+4=4x\left(x+1\right)+5\)

Đặt \(t=x\left(x+1\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\) với điều kiện \(t\ge-\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow t^2-4t-5=0\Leftrightarrow t=-1\) hoặc \(t=5\)

Trong 2 nghiệm trên chỉ có nghiệm t = 5 thỏa mãn điều kiện nên 

\(\Rightarrow x\left(x+1\right)=5\Leftrightarrow x^2+x-5=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\\x=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\end{array}\right.\)

Ta có biến đổi sau :

\(\left(2x-3\right)^2-19=\left(x-4\right)+\left(x+1\right)^2-19\)

                       \(=\left(\left(x-4\right)-\left(x+1\right)^2+4\left(x-4\right)\left(x+1\right)-19\right)\)

                       \(=25+4\left(x-4\right)\left(x+1\right)-19\)

                       \(=4\left(x-4\right)\left(x+1\right)+6\)

Vậy từ phương trình ban đầu ta có :

\(\Leftrightarrow2\left(x-4\right)^2\left(x+1\right)^2=4\left(x-4\right)\left(x+1\right)+6\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2\left(x+1\right)^2-2\left(x-4\right)\left(x+1\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-4\right)\left(x+1\right)+1\right]\left[\left(x-4\right)\left(x+1\right)-3\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x-3\right)\left(x^2-3x-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x^2-3x-3=0\\x^2-3x-7=0\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{\frac{3\pm\sqrt{21}}{2};\frac{3\pm\sqrt{37}}{2}\right\}\)