§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Bất phương trình : \(\Leftrightarrow2^{3x^2}< 2^3.3^{1-x}\Leftrightarrow2^{3x^2-3}< 3^{1-x}\)

                                                       \(\Leftrightarrow\left(3x^2-3\right)\log_32< 1-x\)

                                                       \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[3\left(x+1\right)\log_32+1\right]< 0\) 

                                                       \(\Leftrightarrow-\frac{3\log_32+1}{3\log_32}< x< 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : 

              \(S=\left(-\frac{3\log_32+1}{3\log_32};1\right)\)

Bất phương trình : \(\Leftrightarrow2^{\frac{x+1}{2}}.2^{\frac{4x-2}{3}}.2^{9-3x}>2^{\frac{3}{2}}.2^{-3}\)

                            \(\Leftrightarrow2^{\frac{x+1}{2}+\frac{4x-2}{3}+9-3x}>2^{\frac{3}{2}-3}\)

                            \(\Leftrightarrow x< \frac{62}{7}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(S=\left(-\infty;\frac{62}{7}\right)\)

Ta có \(\left(x^2+x\right)-\left(x^2-x\right)=2x\Rightarrow x^2+x=\left(x^2-x\right)+2x\)

Do đó bất phương trình

\(\Leftrightarrow2^{x^2-x}.2^{2x}+4.2^{x^2-x}-2^{2x}-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow2^{x^2-x}\left(2^{2x}+4\right)-\left(2^{2x}+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2^{2x}+4\right)\left(2^{x^2-x}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2^{x^2-x}\ge1\)

\(\Leftrightarrow x^2-x\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\ge1\\x\le0\end{array}\right.\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (\(-\infty;0\)] \(\cup\) [\(1;+\infty\))

\(\Leftrightarrow8^{\sqrt{x}}-\frac{8}{8^{\sqrt{x}}}< 7\)

Đặt \(t=2^{\sqrt{x}},t\ge1\), ta có :

\(t-\frac{8}{t}< 7\Leftrightarrow t^2-7t-8< 0\Leftrightarrow1\le t< 8\)

Suy ra \(8^{\sqrt{x}}< 8\Leftrightarrow\sqrt{x}< 1\Leftrightarrow0\le t< 8\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S=[0;1)

\(\left(4+\sqrt{15}\right)\left(4-\sqrt{15}\right)=1\Rightarrow\left(4+\sqrt{15}\right)^x\left(4-\sqrt{15}\right)^x=1\)

Đặt \(t=\left(4+\sqrt{15}\right)^x,t>0\Rightarrow\left(4-\sqrt{15}\right)^x=\frac{1}{t}\)

Bất phương trình đã cho trở thành :

\(t+\frac{1}{t}>8\Rightarrow t^2-8t+1>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t>4+\sqrt{15}\\t< 4-\sqrt{15}\end{array}\right.\)

* \(t>4+\sqrt{15}\Rightarrow\left(4+\sqrt{15}\right)^x>4+\sqrt{15}\Rightarrow x>1\)

* \(t< 4-\sqrt{15}\Rightarrow\left(4+\sqrt{15}\right)^x< 4-\sqrt{15}\Rightarrow\left(4+\sqrt{15}\right)^x< \left(4+\sqrt{15}\right)^{-1}\Rightarrow x< -1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left(-\infty;-1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\)

Bất phương trình \(\Leftrightarrow9.9^{2x-x^2}-34.15^{2x-x^2}+25.25^{2x-x^2}\le0\)

                         \(\Leftrightarrow9\left(\frac{3}{5}\right)^{2\left(2x-x^2\right)}-34\left(\frac{3}{5}\right)^{2x-x^2}+25\le0\)

Đặt \(t=\left(\frac{3}{5}\right)^{2x-x^2},t>0\)

Ta có bất phương trình :

\(9t^2-34t+25\Leftrightarrow1\le t\le\frac{25}{9}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}\left(\frac{3}{5}\right)^{2x-x^2}\ge1\\\left(\frac{3}{5}\right)^{2x-x^2}\le\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2x-x^2\le0\\x^2-2x-2\le0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\ge2\\x\le0\end{array}\right.\) và \(1-\sqrt{3}\le x\le1+\sqrt{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là :

\(S=\left[1-\sqrt{3};0\right]\cup\left[2;1+\sqrt{3}\right]\)

\(\Leftrightarrow2.\left(\frac{9}{8}\right)^x-5\left(\frac{18}{8}\right)^x+5\left(\frac{12}{8}\right)^x-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{3}{2}\right)^{3x}-5\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}+5\left(\frac{3}{2}\right)^x-3\ge0\)

Đặt \(t=\left(\frac{3}{2}\right)^x,t>0\)

Bất phương trình trở thành : 

\(2t^3-5t^2+5t-3\ge0\Leftrightarrow\left(2t-3\right)\left(t^2-t+1\right)\ge0\)

                                   \(\Leftrightarrow t\ge\frac{3}{2}\)

Suy ra \(\left(\frac{3}{2}\right)^x\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow x\ge1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\)[1;\(+\infty\) )

A

Vì \(\left(2+\sqrt{2}\right)^x.2^x\left(2-\sqrt{2}\right)^x=4^x\)

nên ta đặt \(a=\left(2+\sqrt{2}\right)^x>0;b=2^x\left(2-\sqrt{2}\right)^x>0\Rightarrow a.b=4^x\)

Phương trình trở thành \(a+b=1+ab\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=1\\b=1\end{array}\right.\)

Suy ra \(\left[\begin{array}{nghiempt}\left(2+\sqrt{2}\right)^x=1\\2^x\left(2-\sqrt{2}\right)^x=1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x=0\)

Đặt \(t=3^x,t>0\)

Bất phương trình trở thành :

\(m.t^2+9\left(m-1\right)t+m-1>0\)

\(\Leftrightarrow m\left(t^2+9t+1\right)>9t+1\)

\(\Leftrightarrow m>\frac{9t+1}{t^2+9t+1}\)

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi :

\(m>max_{t>0}\frac{9t+1}{t^2+9t+1}\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{9t+1}{t^2+9t+1};t>0\)

Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{-9t-2}{\left(t^2+9t+1\right)^2}< 0,t>0\)

đây là hàm nghịch biến suy ra \(f\left(t\right)< f\left(0\right)=1\)

Do đó : \(\frac{9t+1}{t^2+9t+1}< 0,t>0\) nên các giá trị cần tìm là \(m\ge1\)