Question

Với a,b,c là các số không âm , chứng minh rằng : \(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)\ge0\) 

 

Answer 1

Vì a,b,c không phải là số âm \(\Rightarrow a,b,c\ge0\)

Ta có 2 TH:

TH 1: a,b,c=0

Nếu a,b,c = 0 => a(a+b)(a+c)(a+b+c)=0

=> a(a+b)(a+c)(a+b+c)=0

TH 2:  a,b,c >0

=> a(a+b) >0 => a(a+b)(a+c)  >0

=> a(a+b)(a+c)(a+b+c) >0

Vậy  a,b,c là các số không âm => a(a+b)(a+c)(a+b+c) \(\ge0\)

Answer 2

Đầu tiên , cần chứng minh \(x^2+xy+y^2\ge0\) với mọi x,y thuộc tập số thực.

Thật vậy , đặt \(A=x^2+y^2+xy\Rightarrow2A=\left(x+y\right)^2+x^2+y^2\Rightarrow A\ge0\)

Ta có : \(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+b^2c^2=\left(a^2+ab+ac\right)\left(a^2+ab+ac+bc\right)+b^2c^2\)

Đặt \(x=a^2+ab+ac\) , \(y=bc\) , suy ra : 

\(x\left(x+y\right)+y^2\ge0\Leftrightarrow x^2+xy+y^2\ge0\)luôn đúng.

Vậy bđt ban đầu dc chứng minh

Answer 3

mk nhầm , phải là \(a\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+b^2c^2\ge0\)