Question

chứng minh rằng : a, \(a^2+b^2-2ab\ge0\)

                              b, \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) 

                             c,\(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)          

                            d,\(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)   

                            e, \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)  (với a>0 , b>0)

Answer 1

a) \(a^2+b^2-2ab=a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\ge0\) (1)

b) Từ đẳng thức câu a) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) \(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

c) Ta có \(a\left(a+2\right)=a^2+2a\)

Từ đẳng thức (1) ta được \(\left(a+1\right)^2=a^2+2a.1+1^2=a^2+2a+1\)

Do a² + 2a < a² + 2a + 1 nên a(a + 2) < (a + 1)²

    Chờ tý làm tiếp câu c) d) cho 

Answer 2

a)ta có: (a-b)²\(\ge0\)

=> a²-2ab+b²\(\ge0\)(đpcm)

b)Từ phần a) => \(a^2+b^2-2ab\ge0\)

                     <=> \(a^2+b^2\ge2ab\)

=> \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)(đpcm)

c)ta thấy \(\left(a+1\right)^2-a\left(a+2\right)=1>0\)

=> \(\left(a+1\right)^2>a\left(a+2\right)\)(đpcm)

d)ta thấy: \(m^2+n^2+2-2m-2n=\left(m^2-2m+1\right)+\left(n^2-2n+1\right)\)

                                                             \(=\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\)

=> \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)(đpcm)

e)ta có: \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

Áp dụng BĐY cô si có:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)

=>  \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2+2=4\)(đpcm)

 

Answer 3

d) Theo bất đẳng thức cô-si :

\(m^2+1\ge2\sqrt{m^2.1}=2m\)

\(n^2+1\ge2\sqrt{n^2.1}=2n\)

Do đó \(m^2+1+n^2+1\ge2m+2n\)

hay \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

e) Theo bất đẳng thức cô-si vào 2 số dương a,b ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

Do đó \(\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{ab}}=4\)

Answer 4

\(a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)