a/ Ta có : \(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+ab^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy bđt ban đầu được chứng minh.
b/ Đề sai
1. Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng \(a^2\) chia cho 5 dư 1
2. Rút gọn biểu thức : \(P=12\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)
3. Chứng minh hằng đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Cho các số thực a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left(a-b\right)\sqrt[3]{1-c^3}+\left(b-c\right)\sqrt[3]{1-a^3}+\left(c-a\right)\sqrt[3]{1-b^3}=0\)
Chứng minh rằng \(\sqrt[3]{\left(1-a^3\right)\left(1-b^3\right)\left(1-c^3\right)}+abc=1\)
Bài 1: cho \(a,b,c\ge0\) và a+b+c=1. Chứng minh rằng :
a,\(\left(1-a\right)\cdot\left(1-b\right)\cdot\left(1-c\right)\ge8\cdot a\cdot b\cdot c\)
b,\(16\cdot a\cdot b\cdot c\ge a+b\)
c,\(\frac{a}{1+a}+\frac{2\cdot b}{2+b}+\frac{3\cdot c}{3+c}\le\frac{6}{7}\)
Bài 2: cho a,b,c>0 và a.b.c=0 chứng minh rằng:
\(\frac{b\cdot c}{a^2\cdot b+a^2\cdot c}+\frac{a\cdot c}{b^2\cdot c+b^2\cdot a}+\frac{a\cdot b}{c^2\cdot a+c^2\cdot b}\ge\frac{3}{2}\)
a) Chứng minh nếu \(a,b\in Z\) và \(a+b⋮3\) thì \(a^3+b^3⋮3^2\)
b) Tìm min \(\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\)
cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}< 2\)
b)\(a^3+b^3+c^3+3abc>ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\)
Cho \(C\left(x\right)=x^2-3x+2\)
\(A\left(x\right)=x^4-3x^3+\)ax +b
\(B\left(x\right)=x^2-3x+4\)
Tìm a, b để : a) \(A\left(x\right)⋮B\left(x\right)\)
b) \(A\left(x\right)⋮C\left(x\right)\)
1. Thực hiện phép tính:
a, \(\left(1-x-2x^2+3x^2\right)\left(1-x+2x^3-3x^2\right)\)
b, \(\left(a^2-1\right)\left(a^2-a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
2. CM đẳng thức
a, \(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab\)
b, \(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\)
Rút gọn:
A=\(\left(a+b+c\right)^3+\left(a-b-c\right)^3-6a\left(b+c\right)^2\)
rút gọn
\(\left(a+b+c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(a+c-b\right)^3-\left(a+b-c\right)^3\)
