Question

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y thì :

\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\) là số chính phương

b) Cho \(a_1,a_2,...,a_{2016}\) là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3.

Chứng minh rằng : \(A=a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_{2016}^3\) chia hết cho 3.

Answer 1

a, A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y^4
=[(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)]+y^4
=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2) +y^4
=[(x^2+5xy+5y^2)-y^2][(x^2+5xy+5y^2) +y^2]+y^4
=(x^2+5xy+5y^2)^2 -y^4+y^4
=[(x^2+5xy+5y^2)^2 là 1 số chính phương (vì x,ythuộc Z)