Question

 Gọi m là số nhỏ nhất trong 3 số \(\left(x-y\right)^2,\left(y-z\right)^2,\left(z-x\right)^2\)

Chứng minh rằng: \(m\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

Answer 1

 Vai trò x,y,z bình đẳng, không mất tính tổng quát giả sử \(x\ge y\ge z\)

m là số nhỏ nhất trong 3 số \(\left(x-y\right)^2,\left(y-z\right)^2,\left(z-x\right)^2\rightarrow\sqrt{m}\) là số nhỏ nhất trong ba số \(\left|x-y\right|,\left|y-z\right|,\left|z-x\right|\)

Ta có : \(\left|z-x\right|=x-z=\left(x-y\right)+\left(y-z\right)=\left|x-y\right|+\left|y-z\right|\ge2\sqrt{m}\rightarrow\left(z-x\right)^2\ge4m\)

Mà : \(\left(y-z\right)^2\ge m,\left(x-y\right)^2\ge m\) nên :

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge6m\)

\(\Leftrightarrow m\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)