Viết phương trình đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) trong mỗi trường hợp sau :
a) Qua M(-2;0) và tạo với đường thẳng \(\left(\Delta_1\right):x+3y-3=0\) một góc 45 độ
b) Qua N(-1;2) và tạo với đường thẳng \(\left(\Delta_2\right):\left\{{}\begin{matrix}x=5+6t\\y=-2-4t\end{matrix}\right.\) một góc 60 độ
c) Qua P(2;5) và cách đều hai điểm A(-1;2) và B(5;4)
d) Qua Q(2;-2) và cách điểm C(3;1) một đoạn bằng 3
a/ Gọi 1 vtpt của d là \(\left(a;b\right)\)
\(\Rightarrow cos45^0=\frac{\left|1.a+3.b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left|a+3b\right|=\sqrt{5a^2+5b^2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+9b^2+6ab=5a^2+5b^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2-6ab-4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(2a+b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\b=-2a\end{matrix}\right.\) chọn \(\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\\\left(a;b\right)=\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường thẳng thỏa mãn:
\(\left[{}\begin{matrix}2\left(x+2\right)+y=0\\1\left(x+2\right)-2y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+y+4=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\)
b/ Đường thẳng \(d_2\) nhận \(\left(6;-4\right)\) là 1 vtcp nên nhận \(\left(2;3\right)\) là 1 vtpt
Gọi 1 vtpt của d có dạng \(\left(a;b\right)\)
\(cos60^0=\frac{\left|2a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|4a+6b\right|=\sqrt{13a^2+13b^2}\)
\(\Leftrightarrow16a^2+36b^2+48ab=13a^2+13b^2\)
\(\Leftrightarrow3a^2+48ab+23b^2=0\)
Chọn \(a=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=\frac{-24+13\sqrt{3}}{3}\\b=\frac{-24-13\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường thẳng thỏa mãn:
\(1\left(x+1\right)+\frac{-24+13\sqrt{3}}{3}\left(y-2\right)=0\)
Và \(1\left(x+1\right)+\frac{-24-13\sqrt{3}}{3}\left(y-2\right)=0\)
Số xấu quá, bạn tự rút gọn
c/ Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(2;3\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(6;2\right)=2\left(3;1\right)\)
Đường thẳng d qua P cách đều AB sẽ có 2 trường hợp xảy ra:
TH1: d qua P và M
\(\overrightarrow{MP}=\left(0;2\right)=2\left(0;1\right)\)
\(\Rightarrow\)Đường thẳng d nhận \(\left(1;0\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(1\left(x-2\right)+0\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x-2=0\)
TH2: d qua P và song song AB
\(\Rightarrow\)d nhận \(\left(1;-3\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(1\left(x-2\right)-3\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x-3y+13=0\)
d/Do d qua Q, gọi phương trình d có dạng:
\(a\left(x-2\right)+b\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow ax+by-2a+2b=0\) với \(a^2+b^2\ne0\)
d cách C một đoạn bằng 3 nên:
\(d\left(C;d\right)=3\Leftrightarrow\frac{\left|3a+b-2a+2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3\)
\(\Leftrightarrow\left|a+3b\right|=\sqrt{9a^2+9b^2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+9b^2+6ab=9a^2+9b^2\)
\(\Leftrightarrow8a^2-6ab=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\4a=3b\end{matrix}\right.\) chọn \(a=3\Rightarrow b=4\)
Có 2 đường thẳng thỏa mãn:
\(\left[{}\begin{matrix}y+2=0\\3x+4y+2=0\end{matrix}\right.\)
