Question

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;2), trung điểm cạnh AB là M(3;1).

Answer 1

Ta có : \(\overrightarrow{u_{HK}}=\left(-1;2\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{HK}}=\left(2;1\right)\)

PTTQ của BK : \(2\left(x-1\right)+1\left(y-0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x+y-2=0\)

PTTQ của AC : \(-1\left(x-0\right)+2\left(y-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-2y+4=0\)

Gọi \(A\left(a;b\right)\) mà \(A\in AC\Rightarrow A\left(a;\frac{a+4}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_M-x_A=6-a\\y_B=2y_M-y_B=2-\frac{a+4}{2}=-\frac{a}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow B\left(6-a;\frac{-a}{2}\right)\)

Mà \(B\in BK\Rightarrow2\left(6-a\right)-\frac{a}{2}-2=0\)

\(\Rightarrow a=4\)

Do đó \(A\left(4;4\right);B\left(2;-2\right)\)

\(\overrightarrow{u_{AB}}=\left(-2;-6\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{AB}}=\left(6;-2\right)\)

PTTQ của AB : \(6\left(x-4\right)-2\left(y-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x-y-8=0\)

Có : \(\overrightarrow{u_{AH}}=\left(-3;-4\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{BC}}=\left(-3;-4\right)\)

PTTQ của BC : \(-3\left(x-2\right)-4\left(y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x+4y+2=0\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}BC:3x+4y+2=0\\AB:3x-y-8=0\\AC:x-2y+4=0\end{matrix}\right.\)