Câu hỏi của Hoàng Huệ Cẩm

Question

Tính nguyên hàm các hàm số lượng giác sau :

a) $I_1=\int\frac{dx}{\sin2x}$ b)$I_2=\int\frac{\sin^4x}{\cos^8x}dx$

c) $I_3=\int\tan^3xdx$ d) $I_1=\int\frac{dx}{\sin^4x}$

Phan Thị Minh Trí · Accepted Answer

a) $I_1=\int\frac{dx}{2\sin x\cos x}=\frac{1}{2}\int\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{dx}{\cos^2x}$Đặt $\tan x=t$        $=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln\left|t\right|+C=\frac{1}{2}\ln\left|\tan x\right|+C$ b) $I_2=\int\frac{\sin^4x}{\cos^4x}.\frac{1}{\cos^2x}.\frac{dx}{\cos^2x}$ Đặt $t=\tan x$         $=\int t^4\left(1+t^2\right)dt$         $=\int t^4dt+\int t^6dt=\frac{t^5}{5}+\frac{t^7}{7}+C$         $=\frac{\tan^5x}{5}+\frac{\tan^7x}{7}+C$c) $I_3=\int\tan^3xdx$  đặt $t=\tan x$         $=\int\frac{t^3}{1+t^2}dt=\int\left(t-\frac{t}{1+t^2}\right)dt$        $=\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}\ln\left(1+t^2\right)+C$       $=\frac{1}{2}\tan^2x+\ln\left|\cos x\right|+C$d) $\int\frac{dx}{\sin^4x}=\int\frac{1}{\sin^2x}.\frac{1}{\sin^2x}dx=-\int\left(1+\cot^2x\right)d\left(\cot x\right)$                                               $=-\cot x-\frac{1}{3}\cot^3x+C$Câu trả lời: a) $I_1=\int\frac{dx}{2\sin x\cos x}=\frac{1}{2}\int\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{dx}{\cos^2x}$Đặt $\tan x=t$        $=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln\left|t\right|+C=\frac{1}{2}\ln\left|\tan x\right|+C$ b) $I_2=\int\frac{\sin^4x}{\cos^4x}.\frac{1}{\cos^2x}.\frac{dx}{\cos^2x}$ Đặt $t=\tan x$         $=\int t^4\left(1+t^2\right)dt$         $=\int t^4dt+\int t^6dt=\frac{t^5}{5}+\frac{t^7}{7}+C$         $=\frac{\tan^5x}{5}+\frac{\tan^7x}{7}+C$c) $I_3=\int\tan^3xdx$  đặt $t=\tan x$         $=\int\frac{t^3}{1+t^2}dt=\int\left(t-\frac{t}{1+t^2}\right)dt$        $=\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}\ln\left(1+t^2\right)+C$       $=\frac{1}{2}\tan^2x+\ln\left|\cos x\right|+C$d) $\int\frac{dx}{\sin^4x}=\int\frac{1}{\sin^2x}.\frac{1}{\sin^2x}dx=-\int\left(1+\cot^2x\right)d\left(\cot x\right)$                                               $=-\cot x-\frac{1}{3}\cot^3x+C$