Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm \(x^2,y^2,z^2,t^2\) ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2\geq 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy|\geq 2xy\\ y^2+z^2\geq 2|yz|\geq 2yz\\ z^2+t^2\geq 2|zt|\geq 2zt\\ t^2+x^2\geq 2|tx|\geq 2tx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2+t^2)\geq 2(xy+yz+zt+tx)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2\geq xy+yz+zt+tx\)
Dấu bằng xảy ra (vì \(x^2+y^2+z^2+t^2=1=xy+yz+zt+tx\) )
\(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=t^2\)
\(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=t^2=\frac{1}{4}\)
Kết hợp với \(xy+yz+zt+tx=1\) suy ra
\((x,y,z,t)=(\frac{1}{2};\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}); (\frac{-1}{2};\frac{-1}{2}; \frac{-1}{2}; \frac{-1}{2})\)
