Câu hỏi của ≧❂◡❂≦ ღThùy ღNinh ღ≧✯◡✯...

Question

Cho $x;y;z\ge0$thỏa mãn điều kiện $x+y+z=a$

a, Tìm giá trị lớn nhất của $A=xy+yz+xz$

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của $B=x^2+y^2+z^2$

@Nguyễn Quang  : Giúp nốt bài này đuê

@Nguyễn Phương Trâm...

Nguyễn Quang Định · Accepted Answer

Ta có: $\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz$

$\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)$

$\Leftrightarrow xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{a}{3}$

b) Áp dụng BĐT Bunyakovsky,ta có:

$\left(x^2+y^2+z^2\right)3\ge\left(x+y+z\right)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{a}{3}$Câu trả lời: Ta có: $\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz$

$\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)$

$\Leftrightarrow xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{a}{3}$

b) Áp dụng BĐT Bunyakovsky,ta có:

$\left(x^2+y^2+z^2\right)3\ge\left(x+y+z\right)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{a}{3}$

Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ