Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đậu Thị Tường Vy

Bài 1. Cho x > 0 và x2 + \(\frac{1}{x^2}\) = 7. Tính \(x^5+\frac{1}{x^5}\)
Bài 2. Cho x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2016 + y2016 + z2016 = 32017
Bài 3. Cho a, b, c khác nhau thỏa mãn: a2(b + c) = b2(c + a) = 2019. Tính c2(a + b)
Bài 4. Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: 3xy + x + 15y - 2 = 0

Akai Haruma
3 tháng 10 2019 lúc 14:53

Bài 2:

Ta có:

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy)+(y^2+z^2-2yz)+(z^2+x^2-2xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z\in\mathbb{R}$

Do đó để $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$ thì $(x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0$

Hay $x=y=z$

Thay vào điều kiện thứ 2:

$\Rightarrow x^{2016}+x^{2016}+x^{2016}=3^{2017}$

$\Leftrightarrow 3.x^{2016}=3^{2017}$

$\Leftrightarrow $x=3$

$\Rightarrow y=z=x=3$

Vậy $x=y=z=3$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
26 tháng 10 2019 lúc 21:54

Bài 1:

\(x^2+\frac{1}{x^2}=2\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2-2.x.\frac{1}{x}=7\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2=9\)

\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=3\) (do \(x>0\rightarrow x+\frac{1}{x}>0\))

\(\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^3=27\)

\(\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3x.\frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})=27\)

\(\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3.3=27\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=18\)

Do đó:

\(x^5+\frac{1}{x^5}=(x^2+\frac{1}{x^2})(x^3+\frac{1}{x^3})-(x+\frac{1}{x})=7.18-3=123\)

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
26 tháng 10 2019 lúc 21:57

Bài 2:

Ta có:

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy)+(y^2+z^2-2yz)+(z^2+x^2-2xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z\in\mathbb{R}$

Do đó để $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$ thì $(x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0$

Hay $x=y=z$

Thay vào điều kiện thứ 2:

$\Rightarrow x^{2016}+x^{2016}+x^{2016}=3^{2017}$

$\Leftrightarrow 3.x^{2016}=3^{2017}$

$\Leftrightarrow $x=3$

$\Rightarrow y=z=x=3$

Vậy $x=y=z=3$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
26 tháng 10 2019 lúc 22:24

Bài 3:

Theo bài ra ta có:

\(a^2(b+c)=b^2(c+a)\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c-b^2c-b^2a=0\)

\(\Leftrightarrow (a^2b-ab^2)+(a^2c-b^2c)=0\)

\(\Leftrightarrow ab(a-b)+c(a^2-b^2)=0\Leftrightarrow ab(a-b)+c(a-b)(a+b)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(ab+bc+ac)=0\)

Vì $a,b$ khác nhau nên $a-b\neq 0$. Do đó $ab+bc+ac=0$

\(\Rightarrow c^2(a+b)=c(ca+cb)=c(-ab)=a(-bc)=a(ab+ac)=a^2(b+c)=2019\)

Vậy.......

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
26 tháng 10 2019 lúc 23:01

Bài 4:

\(3xy+x+15y-2=0\)

\(\Leftrightarrow 3y(x+5)=2-x\)

Nếu $x=-5$ thì $3y.0=7$ (vô lý)

Nếu $x\neq -5\Rightarrow x+5\neq 0\Rightarrow 3y=\frac{2-x}{x+5}$

Vì $y\in\mathbb{Z}$ nên $\frac{2-x}{x+5}\in\mathbb{Z}$

$Leftrightarrow 2-x\vdots x+5$

$\Leftrightarrow 7-(x+5)\vdots 5$

$\Leftrightarrow 7\vdots x+5$

Vì $x$ nguyên dương nên $x+5>5$. Do đó $x+5=7$

$\Rightarrow x=2$

Khi đó: \(3y=\frac{2-x}{x+5}=0\Rightarrow y=0\) (vô lý vì $y$ nguyên dương)

Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề bài.

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Huyền Trang
Xem chi tiết
Tiểu Đào
Xem chi tiết
Tiểu Đào
Xem chi tiết
tiêu mỹ ly
Xem chi tiết
Nguyễn Quỳnh Trang
Xem chi tiết
kkkk
Xem chi tiết
Ruby
Xem chi tiết
Tôi Là 7D
Xem chi tiết