Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Rồng Đom Đóm

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để \(5^n+1\) chia hết cho \(7^{2018}\)

Trần Minh Hoàng
15 tháng 11 2020 lúc 19:25

Ta thấy \(5^n+1⋮7^{2018}\) nên \(5^{2n}-1⋮7^{2018}\).

Lại có k = 6 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn \(5^k-1⋮7\Rightarrow2n⋮6\Rightarrow n⋮3\).

Đặt n = 3h.

Nếu n chia hết cho 6 thì \(5^n-1⋮5^6-1\Rightarrow5^n-1⋮7\Rightarrow5^n+1⋮7̸\)(vô lí).

Do đó h là số lẻ.

Đặt h = 2m + 1 thì n = 3(2m + 1).

\(5^{2n}-1⋮7^{2018}\Rightarrow\left(5^6\right)^{2m+1}-1⋮7^{2018}\).

Do 56 - 1 chia hết cho 7 nên \(2018\le v_7\left(\left(5^6\right)^{2m+1}-1\right)=v_7\left(5^6-1\right)+v_7\left(2m+1\right)=1+v_7\left(2m+1\right)\Rightarrow m\ge1008\).

Từ đó \(n\ge6051\).

Vậy n nhỏ nhất là 6051.

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Khuất Tuấn Hùng
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Chiến
Xem chi tiết
Cao Hồ Ngọc Hân
Xem chi tiết
Lê Hoàng Danh
Xem chi tiết
Nga Trần Thị Thanh
Xem chi tiết
Lê Nguyễn Trường Chinh
Xem chi tiết
potketdition
Xem chi tiết
Trương Thị Hải Anh
Xem chi tiết
Uchiha Sasuke
Xem chi tiết