Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Jung Yu Mi

Tìm GTNN

\(\frac{X}{Y+Z}+\frac{Y}{Z+X}+\frac{Z}{X+Y}\)

Việt Bắc Nguyễn
28 tháng 3 2019 lúc 20:06

Nesbitt

tran nguyen bao quan
28 tháng 4 2019 lúc 7:43

Áp dụng bđt cosi ta có

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Suy ra \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Áp dụng ta có \(\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge9\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge9\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{9}{2}\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}\ge\frac{9}{2}\Leftrightarrow\frac{z}{x+y}+\frac{y}{x+z}+\frac{x}{y+z}+3\ge\frac{9}{2}\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)

Vậy GTNN của \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)\(\frac{3}{2}\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
28 tháng 4 2019 lúc 8:50

Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz dưới dạng en-gel ta có :

\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+zx}+\frac{y^2}{yz+xy}+\frac{z^2}{zx+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{2}\)

Vậy GTNN của biểu thức là \(\frac{3}{2}\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=z\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Kim Ngọc
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Phạm Băng Băng
Xem chi tiết
Nguyễn Quỳnh Trang
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
nguyễn minh
Xem chi tiết
Lan Trịnh Thị
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết