Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Angela jolie

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2=3. Tìm GTNN của biểu thức: M=\(\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)

Diệu Huyền
3 tháng 2 2020 lúc 10:48

\(M\left(x+y+z\right)=\left(z^2+y^2+z^2\right)+2+\frac{\left(x^2+1\right)\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(y^2+1\right)\left(z+x\right)}{y}+\frac{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)}{z}\)

\(=5+\frac{\left(x^2+1\right)\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(y^2+1\right)\left(z+x\right)}{y}+\frac{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)}{z}\)

\(\ge5+2\left(y+z\right)+2\left(z+x\right)+2\left(x+y\right)=5+4\left(x+y+z\right)\) ( Sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ý)

\(\Rightarrow M\ge\frac{5}{x+y+z}+4\)

Mặt khác: \(\left(x+y+z\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)=9\)

\(\Rightarrow x+y+z\le3\)

Do đó: \(M\ge\frac{5}{3}+4=\frac{17}{3}\)

\(M=\frac{17}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

\(\Rightarrow Min_A=\frac{17}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
mr. killer
Xem chi tiết
Minecraftboy01
Xem chi tiết
CAO Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
Vyy Vyy
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết