Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
CAO Thị Thùy Linh

cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\)

Akai Haruma
13 tháng 5 2019 lúc 23:53

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(Q=\frac{x+1}{y^2+1}+\frac{y+1}{z^2+1}+\frac{z+1}{x^2+1}=(x+1)-\frac{y^2(x+1)}{y^2+1}+(y+1)-\frac{z^2(y+1)}{z^2+1}+(z+1)-\frac{x^2(z+1)}{x^2+1}\)

\(=(x+y+z+3)-\left[\frac{y^2(x+1)}{y^2+1}+\frac{z^2(y+1)}{z^2+1}+\frac{x^2(z+1)}{x^2+1}\right]\)

\(\geq (x+y+z+3)-\left[\frac{y^2(x+1)}{2y}+\frac{z^2(y+1)}{2z}+\frac{x^2(z+1)}{2x}\right]\)

\(\Leftrightarrow Q\geq x+y+z+3-\frac{x+y+z+xy+yz+xz}{2}(1)\)

Tiếp tục sử dụng BĐT AM-GM ta có BĐT quen thuộc là:

\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)=(x+y+z)(xy+yz+xz)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\geq xy+yz+xz(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow Q\geq x+y+z+3-\frac{x+y+z+x+y+z}{2}=3\)

Vậy GTNN của biểu thức là $3$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Rosie
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
mr. killer
Xem chi tiết
Alice Grade
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Trần Minh Hiển
Xem chi tiết