Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
fghj

1) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{zx}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{xy}\)

2)Cho x>y và x+y≤1 .Tìm Min của A=\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\)

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 10 2019 lúc 20:15

\(P=\sum\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}\ge\sum\frac{4x^2\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)^2}=\sum\frac{4x^2}{y+z}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=2\left(x+y+z\right)=2\)

\(P_{min}=2\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Câu 2 có dương không nhỉ? Không dương thì không làm được

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{6}{\left(x+y\right)^2}\ge6\)

\(A_{min}=6\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Eren
16 tháng 10 2019 lúc 20:26

1) \(P\ge\frac{x^2.2\sqrt{yz}}{yz}+\frac{y^2.2\sqrt{zx}}{zx}+\frac{z^2.2\sqrt{xy}}{xy}=\frac{2x^2}{\sqrt{yz}}+\frac{2y^2}{\sqrt{zx}}+\frac{2z^2}{\sqrt{xy}}\ge4\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)=4\left\{\left[\frac{x^2}{y+z}+\frac{1}{4}\left(y+z\right)\right]+\left[\frac{y^2}{z+x}+\frac{1}{4}\left(z+x\right)\right]+\left[\frac{z^2}{x+y}+\frac{1}{4}\left(x+y\right)\right]\right\}-2\left(x+y+z\right)\ge4\left(x+y+z\right)-2\left(x+y+z\right)=2\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

2) \(A=\left[\frac{1}{x^2+y^2}+4\left(x^2+y^2\right)\right]+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)-4\left(x+y\right)^2-8xy\ge4+8-4-2.\left(x+y\right)^2=8-2.\left(x+y\right)^2\ge8-2=6\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
phuc Nguyễn văn
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
Trần Thị Hảo
Xem chi tiết
Như Trần
Xem chi tiết
le duc minh vuong
Xem chi tiết
Khởi My
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết