Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
mr. killer

1, cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:x+y+z=9

Tìm GTNN của biểu thức: S=\(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}\)

Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 9 2020 lúc 21:20

Ta sẽ chứng minh: \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{2a-b}{3}\) với a;b dương

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(3a^3\ge\left(2a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng: \(\Rightarrow S\ge\frac{2x-y}{3}+\frac{2y-z}{3}+\frac{2z-x}{3}=\frac{x+y+z}{3}=3\)

\(S_{min}=3\) khi \(x=y=z=3\)


Các câu hỏi tương tự
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
Nguyễn Bảo Trân
Xem chi tiết
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
phuc Nguyễn văn
Xem chi tiết
Khởi My
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết