Question

cho x,y,x>0 thỏa x+y+z=2

tìm gtnn của P \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{(x+y+z)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Vậy $P_{\min}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$

Answer 2

Cách khác:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x$

$\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq y$

$\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq z$

Cộng theo vế và rút gọn có:

$P+\frac{x+y+z}{2}\geq x+y+z$

$\Leftrightarrow P\geq \frac{x+y+z}{2}=1$

Vậy $P_{\min}=1$

Answer 3

\(P=\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\right)+\left(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\right)-\frac{x+y+z}{2}\ge_{AM-GM}x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2}=1\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = \(\frac{2}{3}\)