Question

Tìm đa thức bậc 2 thỏa mãn:f(x) - f(x-1) = x

Từ đó tính tổng:1+2+3+................+n

Answer 1

f(x) là đa thức bậc hai nên đặt f(x) = ax2 + bx + c

=> f(x - 1) = a(x - 1)2 + b(x - 1) + c

=> f(x) - f(x - 1) = a.[x2 - (x - 1)2] + b[x - (x - 1)] = a.(2x - 1) + b = 2ax + (b - a)

Để f(x) - f(x - 1) = x thì 2ax + (b - a) = x <=> 2a = 1 và b - a = 0 => a = b = 1/2. Chọn c tùy ý

Chọn c = 0 , Vậy đa thức \(f(x)=\frac{x^2+x}{2}=\frac{x\left(x+1\right)}{2}\)

Áp dụng tính S: Đặt f(n) = \((\frac{n\left(n+1\right)}{2})\) ta có:

1 = f(1) - f(0); 2= f(2) - f(1); ...; n = f(n) - f(n - 1)

=> S = 1 + 2 + ...+ n = f(1) - f(0) + f(2) - f(1) + ...+ f(n) - f(n - 1) = [f(1) + f(2) + ....+ f(n)] - [f(0) + f(1) + ...+ f(n-1)]

S = f(n) - f(0) = \((\frac{n\left(n+1\right)}{2})\)

Vậy.............