tam giác ABC vuông tại A có AB<AC, D,E lần lượt là trung điểm của AC,BC AB vuông góc với EF tại F
a)chứng minh DE//AB và tứ giác ADEFlà hình chữ nhật
b)trên tia đối của DE lấy K sao cho DK=DE chứng minh tứ giác AECK là hình thoi
c)AEgiao DFtại O chứng minh Olà trung điểm của AE và B,O,K thẳng hàng
d)vẽ EM vuông góc với AK tạiM tính góc DMFA
a) Xét ΔABC có
D là trung điểm của AC(gt)
E là trung điểm của BC(gt)
Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒DE//AB và \(DE=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(đpcm1)(1)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
mà AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(E là trung điểm của BC)
nên \(AE=\frac{BC}{2}\)(định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
hay AE=EB=EC
Xét ΔAEB có AE=EB(cmt)
nên ΔAEB vuông tại E(định nghĩa tam giác cân)
mà EF là đường cao ứng với cạnh đáy AB(gt)
nên EF cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(định lí tam giác cân)
hay F là trung điểm của AB)
⇒\(AF=\frac{AB}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra DE=AF(3)
Xét tứ giác ADEF có DE//AF(DE//AB, F∈AB) và DE=AF(cmt)
nên ADEF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ADEF có \(\widehat{DAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), D∈AC, F∈AB)
nên ADEF là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: DK=DE(gt)
mà D,E,K thẳng hàng
nên D là trung điểm của KE
Xét tứ giác AECK có
D là trung điểm của đường chéo AC(gt)
D là trung điểm của đường chéo KE(cmt)
Do đó: AECK là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AECK có AE=CE(cmt)
nên AECK là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Ta có: ADEF là hình chữ nhật(cmt)
mà hai đường chéo AE và DF giao nhau tại O(gt)
nên O là trung điểm chung của AE và DF(định lí hình chữ nhật)
hay O là trung điểm của AE
Ta có: D là trung điểm của EK(cmt)
nên \(DE=\frac{KE}{2}\)(4)
Từ (2),(3) và (4) suy ra EK=AB
Xét tứ giác ABEK có KE//AB(DE//AB, K∈DE) và KE=AB(cmt)
nên ABEK là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AE và BK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)
mà O là trung điểm của đường chéo AE(cmt)
nên O là trung điểm của đường chéo BK
hay B,O,K thẳng hàng(đpcm)
