Hệ phương trình đối xứng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Hồng Anh

Giải hệ phương trình :

      \(\begin{cases}2^x-2=3y-3^x\\2^y-2=3x-3^y\end{cases}\)

Trần Thanh Phong
14 tháng 5 2016 lúc 20:41

\(\begin{cases}2^x-2=3y-3^x\\2^y-2=3x-3^y\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2^x+3^x=3y+2\\2^y+3^y=3x+2\end{cases}\)

Từ đó suy ra để (x;y) là nghiệm của hệ thì \(x>-\frac{2}{3}\) và\(y>-\frac{2}{3}\)

Xét hàm số : 

         \(f\left(t\right)=2^t+3^t\) có \(f'\left(t\right)=2^t.\ln2+3^t.\ln3>0\) với mọi \(t\in\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)\)

Vậy hàm số f đồng biến trên \(\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)\)

* Nếu \(x>y\) thì \(3x+2>3y+2\Rightarrow f\left(y\right)>f\left(x\right)\Rightarrow y>x\) mâu thuẫn

* Nếu \(x< y\) thì \(3x+2< 3y+2\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y< x\) mâu thuẫn

Suy ra \(x=y\), ta có hệ tương đương :

                \(\begin{cases}x=y\\2^x+3^x=3x+2\left(1\right)\end{cases}\)

Xét \(g\left(t\right)=2^t+3^t-3t-2\), ta có

       \(g"\left(t\right)=2^t.\ln^22+3^t\ln^23>0\)

nên \(g'\left(t\right)=0\) có tối đa 1 nghiệm 

Suy ra \(g\left(t\right)=0\) có tối đa 2 nghiệm

Như vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : \(x=1;x=0\)

Vậy hệ phương trình đã cho : \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right);\left(1;1\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Đặng Minh Quân
Xem chi tiết
Bùi Bích Phương
Xem chi tiết
Lại Thị Hồng Liên
Xem chi tiết
Võ Tân Hùng
Xem chi tiết
Võ Bình Minh
Xem chi tiết
Trương Văn Châu
Xem chi tiết
Hoàng Thị Tâm
Xem chi tiết
Triệu Tiểu Linh
Xem chi tiết
Hoàng Thị Tâm
Xem chi tiết