Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngô Thành Chung

Giải bpt

\(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+5}}\le\dfrac{2}{\sqrt{x^2-2}+1}\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 2 2021 lúc 16:23

ĐKXĐ: \(x^2\ge2\)

Đặt \(\sqrt{x^2-2}=a\ge0\)

BPT tương đương: \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3a^2+11}}\le\dfrac{2}{a+1}\)

Ta có: \(VT^2\le2\left(\dfrac{1}{a^2+3}+\dfrac{1}{3a^2+11}\right)< 2\left(\dfrac{1}{a^2+3}+\dfrac{1}{3a^2+1}\right)=\dfrac{8\left(a^2+1\right)}{\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)}\)

Mặt khác ta có: \(\left(a-1\right)^4\ge0\Leftrightarrow a^4-4a^3+6a^2-4a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow3a^4+10a^2+3\ge2a^4+4a^3+4a^2+4a+2\)

\(\Leftrightarrow\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)\ge2\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{8\left(a^2+1\right)}{\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)}\le\dfrac{4}{\left(a+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow VT^2< \dfrac{4}{\left(a+1\right)^2}\Rightarrow VT< \dfrac{2}{a+1}\)

\(\Rightarrow\) BPT đã cho đúng với mọi \(a\ge0\) hay nghiệm của BPT là \(x^2\ge2\)


Các câu hỏi tương tự
Chiều Xuân
Xem chi tiết
Ngô Thành Chung
Xem chi tiết
你混過 vulnerable 他 難...
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
meo con
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Quỳnh Anh
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
Đinh Khắc Thiện Quang
Xem chi tiết