Question

\(\dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{b^3+c^3}{bc}+\dfrac{c^3+a^3}{ac}\) ≥ 2(a+b=c) với a,b,c >0

Answer 1

Áp dụng BĐT \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{b^3+c^3}{bc}+\dfrac{c^3+a^3}{ac}\ge\dfrac{ab\left(a+b\right)}{ab}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{bc}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{ca}\)

\(=a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 2

Chứng minh BĐT: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\)

\(\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)