§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Neet

1)Cho 3 số a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc.

tìm Max \(\dfrac{11a+4b}{4a^2-ab+2b^2}+\dfrac{11b+4c}{4b^2-bc+2c^2}+\dfrac{11c+4a}{4c^2-ca+2a^2}\)

2) cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1.CMR

\(\dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{1}{a^2+b^5+c^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^5}\le\dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}\)

3) cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3abc.CMR

\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\ge3\)

Lightning Farron
6 tháng 4 2017 lúc 8:57

Bài 1:

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) ta tính được giá trị là \(9\)

Ta sẽ chứng minh nó là GTLN

Thật vậy ta cần chứng minh

\(\Sigma\dfrac{11a+4b}{4a^2-ab+2b^2}\le\dfrac{3\left(ab+ac+bc\right)}{abc}\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(\dfrac{3}{a}-\dfrac{11a+4b}{4a^2-ab+2b^2}\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-6b\right)}{a\left(4a^2-ab+2b^2\right)}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-6b\right)}{a\left(4a^2-ab+2b^2\right)}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{ab\left(4a^2-ab+2b^2\right)}\ge0\) (luôn đúng)

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(a^5+b^2+c^2\right)\left(\dfrac{1}{a}+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+b^2+c^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Tương tự rồi cộng theo vế ta có:

\(Σ\dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\dfrac{Σ\dfrac{1}{a}+2Σa^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Ta chứng minh \(Σ\dfrac{1}{a}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) - BĐT cuối đúng

Vậy ta có ĐPCM. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bài 3:

Từ \(a+b+c=3abc\Rightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=3\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow xy+yz+xz=3\) và BĐT cần chứng minh là

\(x^3+y^3+z^3\ge3\). Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^3+x^3+1\ge3\sqrt[3]{x^3\cdot x^3\cdot1}=3x^2\)

Tương tự có: \(y^3+y^3+1\ge3y^2;z^3+z^3+1\ge3z^2\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

Lại có BĐT quen thuộc \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)=9\left(xy+yz+xz=3\right)\)

\(\Rightarrow2\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\ge9\Rightarrow2\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge6\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge3\). BĐT cuối đúng nên ta có ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

T/b:Vâng, rất giỏi :GT8:

Lightning Farron
4 tháng 4 2017 lúc 20:35

lần sau đăng từng câu 1 dc ko bn :)

Neet
6 tháng 4 2017 lúc 16:24

system errow


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Quốc Việt
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
phạm thảo
Xem chi tiết
Đỗ Thị Hằng
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết
Đức Huy ABC
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết