Question

ΔABC vương cân tại A, M là trung điểm BC. Điểm D ∈ Bc. Kẻ BH và CI cùng ⊥ AD. Chứng minh tỉ số \(\dfrac{BC^2}{BH^2+CI^2}\)

Answer 1

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta ABH=\Delta CAI\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AH=CI;BH=AI\left(cctu\right)\)

Ta có:

\(2=\dfrac{2\left(BH^2+AH^2\right)}{BH^2+AH^2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{BH^2+AH^2+BH^2+AH^2}{BH^2+AH^2}=2\)

Mà \(AH=CI;BH=AI\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AI^2+CI^2+BH^2+AH^2}{BH^2+AH^2}=2\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(AI^2+CI^2\right)+\left(BH^2+AH^2\right)}{BH^2+AH^2}=2\\ \Leftrightarrow\dfrac{AC^2+AB^2}{BH^2+AH^2}=2\)

(Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABH vuông tại H và tam giác AIC vuông tại I)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BC^2}{AH^2+BH^2}=2\)

(Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A)

Vậy..............