Ta có: \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Nếu a chia hết cho 5 thì \(a^5-a\) chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 1 thì \(a-1\) chia hết cho 5 thì \(a^5-a\) chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 2 thì \(a^2\) chia 5 dư 4 hay\(a^2+1\) chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 3 thì \(a^2\) chia 5 dư 4 hay \(a^2+1\) chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 4 thì \(a+1\) chia hết cho 5 hay \(a^5-a\) chia hết cho 5
Như vậy, với mọi số nguyên a thì \(a^5-a\) luôn chia hết cho 5
Nếu bạn biết định lí nhỏ Fermat thì mình xin làm như sau
Theo định lí nhỏ Fermat ta có
Nếu p là số nguyên tố thì \(a^p-a⋮a\forall a\)
mà 5 là số nguyên tố
nên \(a^5-a⋮a\forall a\left(đpcm\right)\)
