Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hạ Vy

Chứng minh rằng với mọt a,b,c >0 thì

\(\frac{a^{2^{ }}+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\le\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)

Diệu Huyền
26 tháng 1 2020 lúc 23:00

Ta có bất đẳng thức tương đương:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{a+c}\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+\frac{b\left(a^2+c^2\right)}{a+c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+\frac{b\left(a^2+c^2\right)}{a+c}\le a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow c^2-\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+a^2-\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+b^2-\frac{b\left(a^2+c^2\right)}{a+c}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{ca\left(c-a\right)}{a+b}+\frac{bc\left(c-b\right)}{a+b}+\frac{ab\left(a-b\right)}{b+c}+\frac{ac\left(a-c\right)}{b+c}+\frac{ab\left(b-a\right)}{c+a}+\frac{bc\left(b-c\right)}{c+a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{ac\left(c-a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{bc\left(c-b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{ab\left(b-a\right)^2}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\ge0\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Khách vãng lai đã xóa
tthnew
29 tháng 1 2020 lúc 6:13

Buffalo way works! Mặc dù rất xấu:P

Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\). Đặt \(a=c+x;b=c+y\rightarrow x,y\ge0\)

Sau khi qui đồng, BĐT của chúng ta qui về:

\(4c^3\left(x^2-xy+y^2\right)+3c^2\left(x+y\right)\left(2x^2-3xy+2y^2\right)+2c\left(x^4+y^4+x^3y+xy^3-3x^2y^2\right)+xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)

Dễ thấy: \(x^2-xy+y^2;\left(x+y\right)\left(2x^2-3xy+2y^2\right);xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\ge0\)

Vậy ta chỉ cần chứng minh: \(x^4+y^4+x^3y+xy^3-3x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+3xy+y^2\right)+x^2y^2\ge0\) (hiển nhiên đúng)

Vậy BĐT đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
tthnew
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Tranh Diệp Phi
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Vũ Khánh Huyền
Xem chi tiết
Thỏ bông
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết