Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì \(a^5+29a\) chia hết cho 30

Answer 1

\(a^5+29a=a^5-a+30a\)

Ta có \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) Ta có (a-1)a(a+1) là ba số nguyên liên tiếp nên (a-1)a(a+1)⋮3\(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮3\)(1)

Ta lại có a⁵ có chữ số tận cùng là a\(\Rightarrow a^5-a\) sẽ có chữ số tận cùng là 0\(\Rightarrow a^5-a⋮10\left(2\right)\)

Mà (3;10)=1(3)

Từ (1),(2),(3)\(\Rightarrow a^5-a⋮30\)

Mà 30a\(⋮30\)

Vậy a⁵-a+30a\(⋮30\) hay \(a^5+29a⋮30\)