\(ab\left(a^2-b^2\right)=a^3b-ab^3=a^3b-ab+ab-ab^3\)
\(=ab\left(a^2-1\right)-ab\left(b^2-1\right)=b\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+a\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\\\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\end{matrix}\right.\) đều là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chúng chia hết cho 3
\(\Rightarrow b\left(a-1\right)a\left(a+1\right)-a\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\) chia hết cho 3
\(\Rightarrow ab\left(a^2-b^2\right)\) chia hết cho 3 với mọi a, b nguyên
* Nếu a hoặc b chia hết cho 3\(\Rightarrow ab⋮3\Rightarrow ab\left(a^2-b^2\right)⋮3\)
* Nếu a và b đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow ab⋮3\Rightarrow ab\left(a^2-b^2\right)⋮3\)
* Nếu a và b đều không chia hết cho 3 thì ta có a2 và b2 đều chia cho 3 dư 1
Đặt a2=3k+1
b2=3h+1
Suy ra \(a^2-b^2=3k+1-3h-1=3k-3h=3\left(k-h\right)⋮3\Rightarrow a^2-b^2⋮3\Rightarrow ab\left(a^2-b^2\right)⋮3\)
Vậy ab(a2-b2) chia hết cho 3 với mọi số nguyên a và b
