Question

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2=c^2\) chứng minh rằng ab chia hết cho a+b+c

Answer 1

Lời giải:

Điều kiện phải sửa lại là \(a,b,c\in\mathbb{Z}\) hoặc \(a,b,c\in\mathbb{Z}^+\) nhé.

Ta có:

\(a^2+b^2=c^2\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^2-2ab=c^2\)

\(\Leftrightarrow 2ab=(a+b)^2-c^2=(a+b-c)(a+b+c)(*)\)

Ta thấy \(a+b+c-(a+b-c)=2c\) nên \(a+b-c,a+b+c\) cùng tính chẵn lẻ.

+) Nếu \(a+b-c,a+b+c\) lẻ:

Từ \((*)\Rightarrow 2ab\vdots a+b+c\), mà \((a+b+c,2)=1\Rightarrow ab\vdots a+b+c\)

+) Nếu \(a+b-c,a+b+c\) chẵn.

Đặt \(a+b-c=2k(k\in\mathbb{Z})\Rightarrow 2ab=2k(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow ab=k(a+b+c)\Rightarrow ab\vdots a+b+c\)

Từ 2 TH trên suy ra \(ab\vdots a+b+c\)