Question

Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.

Answer 1

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là \(n;n+1;n+2;n+3\left(n\in Z\right)\)
Ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\left(1\right)\)
Đặt \(n^2+3n=t\left(t\in N\right)\) thì \(\left(1\right)=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(n^2+3n+1\right)^2\)
Vì \(n\in N\) nên \(n^2+3n+1\in N\)
Vậy \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) là số chính phương (ĐPCM)