Question

Cho x, y, m, n là các số nguyên thỏa mãn x + y = m + n. Chứng minh rằng S = x² + y² + m² + n² bằng tổng bình phương của ba số nguyên

Answer 1

\(x+y=m+n\Rightarrow x+y-m-n=0\Rightarrow2x\left(x+y-m-n\right)=0\)

Do đó: \(S=x^2+y^2+m^2+n^2+2x\left(x+y-m-n\right)\)

\(S=x^2+y^2+m^2+n^2+2x^2+2xy-2xm-2xn\)

\(S=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xm+m^2\right)+\left(x^2-2xn+n^2\right)\)

\(S=\left(x+y\right)^2+\left(x-m\right)^2+\left(x-n\right)^2\)

Vậy \(x^2+y^2+m^2+n^2\) bằng tổng bình phương của ba số nguyên