Question

Chứng minh rằng nếu S = a + b + c thì:
\(S\left(S-2b\right)S\left(S-2c\right)+S\left(S-2c\right)\left(S-2a\right)+S\left(S-2a\right)\left(S-2b\right)=\left(S-2a\right)\left(S-2b\right)\left(S-2c\right)+8abc\)

Answer 1

Trả lời giúp bạn nè:
VT = S(S - 2b)(S -2c) + S(S-2c)(S - 2a) + S(S - 2a)(S - 2b)
= S((S - 2b)(S -2c) + (S-2c)(S - 2a) + (S - 2a)(S - 2b) )
= S ( S² -2cS -2bS + 4bc + S² - 2aS - 2cS +4ac + S² -2bS -2aS +4ab )
= S ( 3S² - 4cS -4bS - 4aS + 4bc + 4ac + 4ab)
= 3S³ - 4cS² - 3bS² - 4aS² + 4bcS + 4acS + 4abS
= S³ + S³ + S³ - 4cS² - 3bS² - 4aS² + 4bcS + 4acS + 4abS
= S² (S -4c ) + S² (S -4b ) + S² (S -4a )
= S² ( S -4c + S - 4b + S - 4a)
= S² (3S - 4(c + b + a)
= S² (3S - 4S)
= 3S³ - 4S³
= -S³ ( 1 )

VP = (S - 2a)(S - 2b)(S - 2c) + 8abc
= (S² -2bS -2aS + 4ab)(S - 2c) + 8abc
= S³ - 2cS² - 2bS² + 4bcS - 2aS² + 4acS + 4abS - 8abc + 8abc
= S³ - 2cS² - 2bS² - 2aS² + 4bcS + 4acS + 4abS
= S² (S -2c ) - S² (2b + 2a )
= S² ( S - 2c - 2b - 2a )
= S² ( S - 2( c + b + a))
= S³ - 2S³
= -S³ ( 2 )
Từ (1) và (2) suy ra :
S(S - 2b)(S -2c) + S(S-2c)(S - 2a) + S(S - 2a)(S - 2b) = (S - 2a)(S - 2b)(S - 2c) + 8abc