Question

Chứng minh: n⁶ + n⁴ - 2n² chia hết cho 72

Answer 1

Đặt A = \(n^6+n^4-2n^2=n^2\left(n^4++n^2-2\right)\)

=\(n^2\left(n^4-1+n^2-1\right)\)

=\(n^2\left[\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)+n^2-1\right]\)

=\(n^2\left(n^2-1\right)\left(n^2+2\right)\)

+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N)

A=\(4k^2\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)\left(4k^2+2\right)=8k^2\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k^2+1\right)\)

Suy ra A chia hết cho 8
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N)

A=\(\left(2k+1\right)^2.2k\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+1+2\right)\)

=\(4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)^2\left(4k^2+4k+3\right)\)

k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp
Suy ra A chia hết cho 8
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72.
* Nếu n không chia hết cho 3 thì \(n^2\) là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1).

Suy ra:\(n^2+2\) chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72.
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.

Answer 2

Lời giải:

Đặt \(A=n^6+n^4-2n^2\)

\(\Leftrightarrow A=n^2(n^2-1)(n^2+2)\)

Ta chứng minh \(A\vdots 9\)

\(\bullet\) Nếu \(n\equiv 0\pmod 3\Leftrightarrow n\vdots 3\Rightarrow n^2\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9\)

\(\bullet\) Nếu \(n\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow n^2\equiv 1\pmod 3\)

Do đó, \(\left\{\begin{matrix} n^2-1\equiv 0\pmod 3\\ n^2+2\equiv 0\pmod 3\end{matrix}\right.\Rightarrow (n^2-1)(n^2+1)\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9\)

Từ hai TH trên suy ra \(A\vdots 9(1)\)

Ta chứng minh \(A\vdots 8\)

Viết lại: \(A=n^2(n-1)(n+1)(n^2+2)\)

\(\bullet n=4k\Rightarrow n\vdots 4\rightarrow n^2\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8\)

\(\bullet n=4k+1\Rightarrow n-1=4k\vdots 4\) và \(n+1=4k+2\vdots 2\Rightarrow A\vdots 8\)

\(\bullet n=4k+2\Rightarrow n\vdots 2\rightarrow n^2\vdots 4\) và \(n^2+2\vdots 2\Rightarrow A\vdots 8\)

\(\bullet n=4k+3\Rightarrow n-1=4k+2\vdots 2\) và \(n+1=4k+4\vdots 4\Rightarrow A\vdots 8\)

Từ các TH trên suy ra \(A\vdots 8(2)\)

Từ \((1),(2)\) mà $8,9$ nguyên tố cùng nhau nên \(A\vdots 72\) (đpcm)