Question

Chứng minh:

\(\dfrac{n^7+n^2+n}{n^8+n+1}\) chưa tối giản

Answer 1

n⁸ + n + 1 = n⁸ - n² + n² + n + 1

= n² (n⁶ - 1 ) + n² + n + 1

= n² (n² - 1)(n⁴ +n² + 1) + n² + n + 1

= n² (n² - 1)(n⁴ + 2n² + 1 - n²) + n² + n + 1

= n² (n² - 1)(n² + n + 1)(n² - n + 1) + n² + n + 1 chia hết cho n² + n +1

Mặt khác :
n⁷ + n² + 1 = n⁷ - n + n² + n + 1

= (n - 1)(n⁶ - 1) +n² + n + 1

= (n - 1)(n² - 1)(n² + n + 1)(n² - n + 1) + n² + n + 1 chia hết cho n² + n + 1

Vậy chúng đều có ước chung là n² + n + 1 nên phân số đó ko tối giản