Question

C/minh các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

\(\dfrac{2n+1}{2n^2-1}\)

Answer 1

Gọi \(ƯCLN\left(2n+1;2n^2-1\right)=a\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮a\\2n^2-1⋮a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n\left(2n+1\right)-\left(2n^2-1\right)⋮a\Rightarrow n+1⋮a\)

\(\Rightarrow a\) cũng là ước chung của \(2n+1\) và \(n+1\)

\(\Rightarrow2\left(n+1\right)-\left(2n+1\right)⋮a\Rightarrow1⋮a\Rightarrow a=1\)

Vậy \(2n+1\) và \(2n^2+1\) là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\dfrac{2n+1}{2n^2-1}\) tối giản với mọi STN n