Question

. (2,0 điểm) Chứng minh rằng :

a) Biểu thức B = x² – x + \(\dfrac{1}{2}\) > 0 với mọi giá trị của biến x

b) Biểu thức C = (2n + 1)² – 1 chia hết cho 8, với mọi số nguyên n

Answer 1

\(B=x^2-x+\dfrac{1}{2}=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}>0\)

Answer 2

Câu a : Ta có :

\(B=x^2-x+\dfrac{1}{2}=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}>0\)

Câu b : Ta có :

\(C=\left(2n+1\right)^2-1=\left(2n+1-1\right)\left(2n+1+1\right)=2n\left(2n+2\right)=4n^2+4n=8n\left(\dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{2}\right)\)

Do có thừa số là 8 nên \(8n\left(\dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{2}\right)\) luôn chia hết cho 8

\(\Rightarrow C=\left(2n+1\right)^2-1\) chia hết cho 8 ( đpcm )