Question

Chứng minh các bất đẳng thức:

1. Cmr :\(a^4+3\ge4a\)

2. Cmr : \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\)

Answer 1

Lời giải:

1)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:

\(a^4+3=a^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a^4}\)

\(\Leftrightarrow a^4+3\geq 4|a|\geq 4a\)

Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=1\)

2)

Ghi đầy đủ đề:

\(a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)\geq 6abc\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:

\(\text{VT}=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\geq 6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6|abc|\geq 6abc\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)