Question

Chứng minh biểu thức sau không âm với mọi x,y

5x\(^2\)+y\(^2\)-4xy-2y+8x+2013

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

$5x^2+y^2-4xy-2y+8x+2013=(4x^2-4xy+y^2)+x^2-2y+8x+2013$

$=(2x-y)^2+2(2x-y)+x^2+12x+36+1977$

$=(2x-y)^2+2(2x-y)+1+(x+6)^2+1976$

$=(2x-y+1)^2+(x+6)^2+1976\geq 1976>0$ với mọi $x,y$

Do đó biểu thức không âm với mọi $x,y$

Answer 2

Lời giải:

Ta có:

$5x^2+y^2-4xy-2y+8x+2013=(4x^2-4xy+y^2)+x^2-2y+8x+2013$

$=(2x-y)^2+2(2x-y)+x^2+4x+4+2009$

$=(2x-y)^2+2(2x-y)+1+(x+2)^2+2008$

$=(2x-y+1)^2+(x+6)^2+2008\geq 2008>0$ với mọi $x,y$

Do đó biểu thức không âm với mọi $x,y$