Câu hỏi của Ngọc Thảo

Question

Chứng tỏ biểu thức sau luôn dương với mọi số thực x,y: M= 5x2+2y2+4xy-2x+4y+6

Khôi Bùi · Accepted Answer

$M=5x^2+2y^2+4xy-2x+4y+6$

$=\left(4x^2+4xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)+1$

$=\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+1$

Do $\left(2x+y\right)^2\ge0\forall x;y\left(x-1\right)^2\ge0\forall x;\left(y+2\right)^2\ge0\forall y$

$\Rightarrow\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+1\ge1\forall x;y$

$\Rightarrow M\ge1>0\forall x;y$

$\left(đpcm\right)$Câu trả lời: $M=5x^2+2y^2+4xy-2x+4y+6$

$=\left(4x^2+4xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)+1$

$=\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+1$

Do $\left(2x+y\right)^2\ge0\forall x;y\left(x-1\right)^2\ge0\forall x;\left(y+2\right)^2\ge0\forall y$

$\Rightarrow\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+1\ge1\forall x;y$

$\Rightarrow M\ge1>0\forall x;y$

$\left(đpcm\right)$

Phép nhân và phép chia các đa thức