§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lightning Farron

Chứng minh BĐT cauchy với pp quy nạp

 

Hoàng Lê Bảo Ngọc
20 tháng 8 2016 lúc 22:42

Chứng minh khá dài ấy :)

Hoàng Lê Bảo Ngọc
20 tháng 8 2016 lúc 23:00

Ta cần chứng minh : \(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1.a_2...a_n}\) với \(n\in N^{\text{*}}\)

Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là \(\frac{a_1+a_2}{2}\ge\sqrt{a_1a_2}\) (1)

Giả sử bđt đúng với n = k , tức là \(\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}\ge\sqrt[k]{a_1.a_2...a_k}\) với \(k>2\)

Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1 

Không mất tính tổng quát, đặt \(a_1\le a_2\le...\le a_k\le a_{k+1}\)

thì : \(a_{k+1}\ge\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}\) . Lại đặt \(\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}=x,x\ge0\)

\(\Rightarrow a_{k+1}=x+y,y\ge0\) và \(x^k=a_1.a_2...a_k\) (suy ra từ giả thiết quy nạp)

Ta có : \(\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}=\left(\frac{kx+x+y}{k+1}\right)^{k+1}=\left(\frac{x\left(k+1\right)+y}{k+1}\right)^{k+1}=\left(x+\frac{y}{k+1}\right)^{k+1}\)

                                            \(\ge x^{k+1}+\left(k+1\right).\frac{y}{k+1}.x^k=x^{k+1}+y.x^k=x^k\left(x+y\right)\ge a_1.a_2...a_k.a_{k+1}\)

Suy ra \(\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\ge\sqrt[k+1]{a_1.a_2...a_{k+1}}\)

Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Nguyễn Thị Minh Thư ♥♥♥
26 tháng 8 2016 lúc 14:36

1


Các câu hỏi tương tự
Lê Minh
Xem chi tiết
Trần Thị Thu Ngân
Xem chi tiết
Anh Thư Nguyễn
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết
trần trang
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Bảo Quang
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết