Question

Chứng minh bất đẳng thức :

abc > ( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c )

với a , b,c là độ dài của 3 cạnh tam giác

Answer 1

Ta có :

( b + c - a ) ( b + a - c ) = b² - ( c - a )² < b²

( c + a - b ) ( c + b  - a ) = c² - ( a - b ) ² < c²

( a + b - c ) ( a + c - b ) = a² - ( b - c )² < a²

Nhân từng vế ba bất đẳng thức trên ta được

[ ( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c ) ]²  <  [ abc ]²

Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dương nên 

( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c ) < abc

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b =c