Question

Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1 . Chứng minh: \(\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge2\)

Answer 1

\(1+y+z^2\le1+\frac{1+y^2}{2}+z^2\)

\(\frac{1+x^2}{1+y+z^2}\ge\frac{2\left(1+x^2\right)}{1+b^2+2\left(1+c^2\right)}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\)

với \(a=1+x^2,b=1+y^2,c=1+z^2\)

\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge1\)

Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)