Question

Cho x, y là số thực thỏa mãn \(x\ge2\); \(x+y\ge3\).

Tìm GTNN của biểu thức: \(T=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}\)

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$(x^2+y^2)(2^2+1)\geq (2x+y)^2\Rightarrow x^2+y^2\geq \frac{(2x+y)^2}{5}$

$\Rightarrow T\geq \frac{(2x+y)^2}{5}+\frac{2x+y}{x(x+y)}$

$=(2x+y)\left(\frac{2x+y}{5}+\frac{1}{x(x+y)}\right)$

Vì $x\geq 2; x+y\geq 3\Rightarrow 2x+y\geq 5(1)$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{2x+y}{5}+\frac{1}{x(x+y)}=\frac{x}{12}+\frac{x+y}{18}+\frac{1}{x(x+y)}+\frac{7}{60}x+\frac{13}{90}(x+y)$

$\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{12}.\frac{x+y}{18}.\frac{1}{x(x+y)}}+\frac{7}{60}.2+\frac{13}{90}.3=\frac{7}{6}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow P\geq 5.\frac{7}{6}=\frac{35}{6}$