Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số dương \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\)
Ta có :
\(\sqrt{3x\left(2x+y\right)}\le\dfrac{3x+2x+y}{2}=\dfrac{5x+y}{2}\left(1\right)\)
\(\sqrt{3y\left(2y+x\right)}\le\dfrac{3y+2y+x}{2}=\dfrac{5y+x}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có : \(P=\dfrac{\sqrt{3}\left(x+y\right)}{\sqrt{3x\left(2x+y\right)}+\sqrt{3y\left(2y+x\right)}}\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(x+y\right)}{\dfrac{6x+6y}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Min (P) = \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=2x+y\\3y=2y+x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y\)
Cho x , y là 2 số thực dương . Tìm GTNN của biểu thức :
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}}\)
Cách 2 : Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho 2 dãy :
Dãy 1 : \(\sqrt{x},\sqrt{y}\)
Dãy 2 : \(\sqrt{2x+y},\sqrt{2y+x}\)
Ta có : \(\left(\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(3x+3y\right)\Leftrightarrow\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Nên \(P\ge\dfrac{x+y}{\sqrt{3}\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(Min\left(P\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x+y}}=\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{2y+x}}\Leftrightarrow x=y\)
