Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đỗ Hạnh Quyên

Cho tứ diên đều ABCD có các cạnh bằng a. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD) và O là trung điểm đoạn thẳng AH. Chứng minh rằng các đường thẳng OB, OC và OD đôi một vuông góc.

Bùi Quỳnh Hương
18 tháng 3 2016 lúc 15:54

A B C D o H a c b

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}\)

Với \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=a\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=\frac{a^2}{2}\) (như trong hình vẽ)

Do hình chóp đã cho là hình chóp đều, nên H là trọng tâm của tam giác BCD, do đó :

\(\overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)

Suy ra \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)

Vậy : \(\overrightarrow{OB}=\frac{1}{6}\left(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{5b}-\overrightarrow{c}\right)\) Và  \(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{6}\left(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\right)\)

Từ đó : 

\(36.\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=\left(-\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\left(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\right)\)

                    \(=\overrightarrow{a^2}^{ }+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}-5\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b^2}^{ }+25\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c^2}\)

                    \(=\overrightarrow{a^2}-4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+26\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}-4\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b^2}^{ }-5\overrightarrow{c^2}\)

                   \(=a^2-2a^2+13a^2-2a^2-10a^2=0\)

Suy ra \(OB\perp OC\)

Chứng minh tương tự ta cũng được \(OC\perp OD,OD\perp OB\)

 

 

 

 


Các câu hỏi tương tự
Ngọc Nhã Uyên Hạ
Xem chi tiết
Ngọc Nhã Uyên Hạ
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH HUY
Xem chi tiết
Trần Minh Ngọc
Xem chi tiết
FREESHIP Asistant
Xem chi tiết
Nguyễn Tuấn
Xem chi tiết
Binh Le Huu Thanh
Xem chi tiết
Duyên Trần
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Nghĩa
Xem chi tiết